|
Пределы числовых последовательностей
Числовые последовательности. Формула общего члена.
Предел числовой последовательности. Сходящаяся и
расходящаяся последовательности. Ограниченная
последовательность. Монотонная последовательность.
Теорема Вейерштрасса. Основные свойства пределов.
Некоторые замечательные пределы.
Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, … , n –1, n, … .
Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un ,
следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:
u1 , u2 , u3 , …, un - 1 , un , …, кратко обозначаемый { un }
и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом
последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой
формулой un = f ( n ), позволяющей найти любой член последовательности по его
номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать
числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда
последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).
П р и м е р ы числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел ;
2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность приближённых значений
с увеличивающейся точностью.
В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем
не менее эта последовательность писана полностью.
Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность,
общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового
номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.
Это понятие имеет более строгое определение.
Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её
общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это
значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все
члены последовательности расположены внутри интервала ( a - , a + ).
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае –
расходящейся.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что |
un | M для всех n . Возрастающая или убывающая последовательность называется
монотонной.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет
предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).
Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не
только для числовых последовательностей, но и для функций.
Если { un } и { vn } - две сходящиеся последовательности, то:
Если члены последовательностей { un }, { vn }, { wn } удовлетворяют неравенствам
Некоторые замечательные пределы.
Назад Вверх |
 |
